ЕГЭ ИНФОРМАТИКА
Задание 14
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
КОНСПЕКТ
- В системах счисления нумерация идет с НУЛЯ.
- Старшая цифра в системе счисления на 1 меньше, чем название системы.
- Название системы счисления говорит о количестве в ней цифр.
- Если система счисления больше 10, то после старшей цифры 9 начинают идти буквы английского алфавита по порядку.
10∙163 + 5∙162 + 6∙161 + 13∙160 = 4234910
6543210 = FF9816
A56D16 = 4234910
print(int(s,n))
s - число, которое переводим (тип: строка)
n - с.с. из которой переводим для n>= 2 and n<= 36(тип: целое число)
Пример: print(int('A56D',16)
Если с.с. больше 37, то считаем по правилу
A56D37 = 10∙373 + 5∙372 + 6∙371 + 13∙370
print(10*37**3 + 5*37**2 + 6*37 + 13)
s - число, которое переводим (тип: строка)
n - с.с. из которой переводим для n>= 2 and n<= 36(тип: целое число)
Пример: print(int('A56D',16)
Если с.с. больше 37, то считаем по правилу
A56D37 = 10∙373 + 5∙372 + 6∙371 + 13∙370
print(10*37**3 + 5*37**2 + 6*37 + 13)
Перевод из 10-тичной -> в любую (ДЕЛЕНИЕ)
Перевод из любой -> в 10-тичную (УМНОЖЕНИЕ)
Знак
Больше
Меньше или равно
Меньше
Больше или равно
Обозначение
Отрицание
>
≥
<
≤
≤
<
≥
>
Не больше — отрицание "больше"
Не меньше — отрицание "меньше"
Превышающим — больше
Не превышающем — не больше
Не меньше — отрицание "меньше"
Превышающим — больше
Не превышающем — не больше
ТИП 1.1 (ДЕМО-2026)
Значение арифметического выражения
2 ∙ 21872020 + 7292021 – 2 ∙ 2432022 + 812023 – 2 ∙ 27 2024 – 6561
записали в системе счисления с основанием 27. Определите в 27-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, превышающим 9.
2 ∙ 21872020 + 7292021 – 2 ∙ 2432022 + 812023 – 2 ∙ 27 2024 – 6561
записали в системе счисления с основанием 27. Определите в 27-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, превышающим 9.
Значение арифметического выражения
2 ∙ 21872020 + 7292021 –
- 2 ∙ 2432022 + 812023 –
- 2 ∙ 27 2024 – 6561
записали в системе счисления с основанием 27. Определите в 27-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, превышающим 9.
2 ∙ 21872020 + 7292021 –
- 2 ∙ 2432022 + 812023 –
- 2 ∙ 27 2024 – 6561
записали в системе счисления с основанием 27. Определите в 27-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, превышающим 9.
РЕШЕНИЕ
Поиск количество цифр при делении на 27, которые дают в остатке больше 9.
n = 2 * 2187**2020 + 729**2021 - 2 * 243**2022 + 81**2023 - 2 * 27**2024 - 6561
k = 0
while n>0:
if n % 27 > 9:
k = k+1
n = n//27
print(k)
Ответ: 3367
n = 2 * 2187**2020 + 729**2021 - 2 * 243**2022 + 81**2023 - 2 * 27**2024 - 6561
k = 0
while n>0:
if n % 27 > 9:
k = k+1
n = n//27
print(k)
Ответ: 3367
ТИП 1.2
Значение арифметического выражения
21∙ 2454203 + 546102 – 24 ∙ 2799 + 5545 - 28 ∙ 220 + 143
записали в системе счисления с основанием 13. Определите количество цифр В в записи этого числа.
21∙ 2454203 + 546102 – 24 ∙ 2799 + 5545 - 28 ∙ 220 + 143
записали в системе счисления с основанием 13. Определите количество цифр В в записи этого числа.
Значение арифметического выражения
21∙ 2454203 + 546102 – 24 ∙
∙2799 + 5545 - 28 ∙ 220 + 143
записали в системе счисления с основанием 13. Определите количество цифр В в записи этого числа.
21∙ 2454203 + 546102 – 24 ∙
∙2799 + 5545 - 28 ∙ 220 + 143
записали в системе счисления с основанием 13. Определите количество цифр В в записи этого числа.
РЕШЕНИЕ
B - двенадцатая цифра 13-ричной системы счисления. Поэтому ищем количество цифр при делении на 13, которые дают в остатке 12.
n = 21*2454**203 + 546**102 - 24*27**99 + 55**45 - 28*2**20 + 14**3
k = 0
while n>0:
if n % 13 == 11:
k = k+1
n = n//13
print(k)
Ответ: 36
n = 21*2454**203 + 546**102 - 24*27**99 + 55**45 - 28*2**20 + 14**3
k = 0
while n>0:
if n % 13 == 11:
k = k+1
n = n//13
print(k)
Ответ: 36
ТИП 2.1 (ДЕМО-2026)
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 29.
923x87429 + 524x615229
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 29-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 28. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 28 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
923x87429 + 524x615229
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 29-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 28. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 28 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
РЕШЕНИЕ
for x in range(29):
n1 = 9*29**6 + 2*29**5 + 3*29**4 + x*29**3 + 8*29**2 + 7*29 + 4
n2 = 5*29**7 + 2*29**6 + 4*29**5 + x*29**4 + 6*29**3 + 1*29**2 + 5*29 + 2
n = n1 + n2
if n%28==0:
print(n//28)
Результат работы программы - два числа. Необходимо выбрать наибольшее x, т.к. х в цикле идут в порядке возрастания, выбираем последнее число.
Правильный ответ: 3319197720
n1 = 9*29**6 + 2*29**5 + 3*29**4 + x*29**3 + 8*29**2 + 7*29 + 4
n2 = 5*29**7 + 2*29**6 + 4*29**5 + x*29**4 + 6*29**3 + 1*29**2 + 5*29 + 2
n = n1 + n2
if n%28==0:
print(n//28)
Результат работы программы - два числа. Необходимо выбрать наибольшее x, т.к. х в цикле идут в порядке возрастания, выбираем последнее число.
Правильный ответ: 3319197720
ТИП 2.2
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 30.
A2Dx530 + HCx6K230 + M730
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 30-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 29. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 29 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
A2Dx530 + HCx6K230 + M730
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 30-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 29. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 29 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
РЕШЕНИЕ
for x in range(30):
n1 = 10*30**4 + 2*30**3 + 13*30**2 + x*30 + 5
n2 = 17*30**5 + 12*30**4 + x*30**3 + 6*30**2 + 20*30 + 2
n3 = 22*30 + 7
n = n1 + n2 + n3
if n%29==0:
print(n//29)
Результат работы программы - два числа. Необходимо выбрать наименьшее x, т.к. х в цикле идут в порядке возрастания, выбираем первое число.
Ответ: 14861806
n1 = 10*30**4 + 2*30**3 + 13*30**2 + x*30 + 5
n2 = 17*30**5 + 12*30**4 + x*30**3 + 6*30**2 + 20*30 + 2
n3 = 22*30 + 7
n = n1 + n2 + n3
if n%29==0:
print(n//29)
Результат работы программы - два числа. Необходимо выбрать наименьшее x, т.к. х в цикле идут в порядке возрастания, выбираем первое число.
Ответ: 14861806
ТИП 2.3
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15 и 28.
Ax5y115 + x6yC4228
В записи чисел переменными x и y обозначены допустимые в данных системах счисления неизвестные цифры. Определите значения x и y, при которых значение данного арифметического выражения будет наименьшим и кратно 115. Для найденных значений x и y вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 115 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.
Ax5y115 + x6yC4228
В записи чисел переменными x и y обозначены допустимые в данных системах счисления неизвестные цифры. Определите значения x и y, при которых значение данного арифметического выражения будет наименьшим и кратно 115. Для найденных значений x и y вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 115 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.
РЕШЕНИЕ
Так наименьшая система счисления 15, а x и y есть в записи обоих чисел, то x и y могут иметь значения только 15-ричной системы счисления.
Используем это в циклах for.
for x in range(15):
for y in range(15):
n1 = 10*15**4 + x*15**3 + 5*15**2 + y*15 + 1
n2 = x*28**5 + 6*28**4 + y*28**3 + 12*28**2 + 4*28 + 2
n = n1 + n2
if n%115==0:
print(n//115)
Результат работы программы - три числа. Необходимо выбрать наименьшее среди всех значений.
Ответ: 39047
Используем это в циклах for.
for x in range(15):
for y in range(15):
n1 = 10*15**4 + x*15**3 + 5*15**2 + y*15 + 1
n2 = x*28**5 + 6*28**4 + y*28**3 + 12*28**2 + 4*28 + 2
n = n1 + n2
if n%115==0:
print(n//115)
Результат работы программы - три числа. Необходимо выбрать наименьшее среди всех значений.
Ответ: 39047
ТИП 2.4
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15 и 28.
Ax5x115 + y6yC4228
В записи чисел переменными x и y обозначены допустимые в данных системах счисления неизвестные цифры. Определите значения x и y, при которых значение данного арифметического выражения будет наименьшим и кратно 51. Для найденных значений x и y вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 51 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.
Ax5x115 + y6yC4228
В записи чисел переменными x и y обозначены допустимые в данных системах счисления неизвестные цифры. Определите значения x и y, при которых значение данного арифметического выражения будет наименьшим и кратно 51. Для найденных значений x и y вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 51 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.
РЕШЕНИЕ
X присутствует только в первом выражении, тогда он может иметь значения 15-ричной системы счисления.
Y присутствует только во втором выражении, тогда он может иметь значения 15-ричной системы счисления. Используем это в циклах for.
for x in range(15):
for y in range(28):
n1 = 10*15**4 + x*15**3 + 5*15**2 + x*15 + 1
n2 = y*28**5 + 6*28**4 + y*28**3 + 12*28**2 + 4*28 + 2
n = n1 + n2
if n%51==0:
print(n//51)
Результат работы программы - множество неупорядоченных чисел. Необходимо выбрать наименьшее среди всех значений.
Ответ: 421134
Y присутствует только во втором выражении, тогда он может иметь значения 15-ричной системы счисления. Используем это в циклах for.
for x in range(15):
for y in range(28):
n1 = 10*15**4 + x*15**3 + 5*15**2 + x*15 + 1
n2 = y*28**5 + 6*28**4 + y*28**3 + 12*28**2 + 4*28 + 2
n = n1 + n2
if n%51==0:
print(n//51)
Результат работы программы - множество неупорядоченных чисел. Необходимо выбрать наименьшее среди всех значений.
Ответ: 421134
ТИП 3 (ДЕМО-2026)
Значение арифметического выражения
9 ∙ 11210 + 8 ∙ 11150 – x,
где x – целое положительное число, не превышающее 3000, записали в 11-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в 11-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 60 нулей. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
9 ∙ 11210 + 8 ∙ 11150 – x,
где x – целое положительное число, не превышающее 3000, записали в 11-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в 11-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 60 нулей. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
РЕШЕНИЕ
for x in range(1, 3001):
t = 9*11**210 + 8*11**150 - x
k = 0
while t!=0:
if t%11==0:
k = k+1
t = t//11
if k==60:
print(x)
Результат работы программы - множество упорядоченных чисел. Необходимо выбрать наибольшее.
Ответ: 2992
t = 9*11**210 + 8*11**150 - x
k = 0
while t!=0:
if t%11==0:
k = k+1
t = t//11
if k==60:
print(x)
Результат работы программы - множество упорядоченных чисел. Необходимо выбрать наибольшее.
Ответ: 2992
ЗАДАЧА ДлЯ ТРЕНИРОВКИ 1
Значение арифметического выражения
5 ∙ 1871000 - 1091001 + 2421002 + 911003 + 2 ∙ 341004 – 6561
записали в системе счисления с основанием 31. Определите в 31-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, не превышающим 5.
5 ∙ 1871000 - 1091001 + 2421002 + 911003 + 2 ∙ 341004 – 6561
записали в системе счисления с основанием 31. Определите в 31-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, не превышающим 5.
Значение арифметического выражения
5 ∙ 1871000 - 1091001 + 2421002 + 911003 + 2 ∙ 341004 – 6561
записали в системе счисления с основанием 31. Определите в 31-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, не превышающим 5.
5 ∙ 1871000 - 1091001 + 2421002 + 911003 + 2 ∙ 341004 – 6561
записали в системе счисления с основанием 31. Определите в 31-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, не превышающим 5.
n = 5*187**1000 - 109**1001 + 242**1002 + 91**1003 + 2*34**1004 - 6561
k = 0
while n>0:
if n % 31 <= 5:
k = k+1
n = n//31
print(k)
Ответ: 320
k = 0
while n>0:
if n % 31 <= 5:
k = k+1
n = n//31
print(k)
Ответ: 320
ЗАДАЧА ДлЯ ТРЕНИРОВКИ 2
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15 и 12.
4xAy315 + x2y791212
В записи чисел переменными x и y обозначены допустимые в данных системах счисления неизвестные цифры. Определите значения x и y, при которых значение данного арифметического выражения будет наибольшим и кратно 25. Для найденных значений x и y вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 25 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.
4xAy315 + x2y791212
В записи чисел переменными x и y обозначены допустимые в данных системах счисления неизвестные цифры. Определите значения x и y, при которых значение данного арифметического выражения будет наибольшим и кратно 25. Для найденных значений x и y вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 25 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.
for x in range(12):
for y in range(12):
n1 = 4*15**4 + x*15**3 + 10*15**2 + y*15 + 3
n2 = x*12**6 + 2*12**5 + y*12**4 + 7*12**3 + 9*12**2 + 1*12 + 2
n = n1 + n2
if n%25==0:
print(n//25)
Ответ: 1346441
for y in range(12):
n1 = 4*15**4 + x*15**3 + 10*15**2 + y*15 + 3
n2 = x*12**6 + 2*12**5 + y*12**4 + 7*12**3 + 9*12**2 + 1*12 + 2
n = n1 + n2
if n%25==0:
print(n//25)
Ответ: 1346441
ЗАДАЧА ДлЯ ТРЕНИРОВКИ 3
Значение арифметического выражения
3 ∙ 12399 - 12498 + 22497 + 29059 + 7 ∙ 444 – 4321
записали в системе счисления с основанием 20. Определите в 20-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, равным 5, или с числовым значением, кратным 3.
3 ∙ 12399 - 12498 + 22497 + 29059 + 7 ∙ 444 – 4321
записали в системе счисления с основанием 20. Определите в 20-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, равным 5, или с числовым значением, кратным 3.
Значение арифметического выражения
3 ∙ 12399 - 12498 + 22497 +
+ 29059 + 7 ∙ 444 – 4321
записали в системе счисления с основанием 20. Определите в 20-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, равным 5, или с числовым значением, кратным 3.
3 ∙ 12399 - 12498 + 22497 +
+ 29059 + 7 ∙ 444 – 4321
записали в системе счисления с основанием 20. Определите в 20-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, равным 5, или с числовым значением, кратным 3.
n = 3*123**99 - 124**98 + 224**97 + 2905**9 + 7*44**4 - 4321
k = 0
while n>0:
if n%20==5 or (n%20)%3==0:
k = k+1
n = n//20
print(k)
Ответ: 63
k = 0
while n>0:
if n%20==5 or (n%20)%3==0:
k = k+1
n = n//20
print(k)
Ответ: 63
ЗАДАЧА ДлЯ ТРЕНИРОВКИ 4
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 17.
1x2x3x417 + 20x1217 + 2x2xx17
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 17-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 16. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 16 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
1x2x3x417 + 20x1217 + 2x2xx17
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 17-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 16. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 16 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
for x in range(17):
n1 = 1*17**6 + x*17**5 + 2*17**4 + x*17**3 + 3*17**2 + x*17 + 4
n2 = 2*17**4 + 0*17**3 + x*17**2 + 1*17 + 2
n3 = 2*17**4 + x*17**3 + 2*17**2 + x*17 + x
n = n1 + n2 + n3
if n%16==0:
print(n//16)
Ответ: 2523140
n1 = 1*17**6 + x*17**5 + 2*17**4 + x*17**3 + 3*17**2 + x*17 + 4
n2 = 2*17**4 + 0*17**3 + x*17**2 + 1*17 + 2
n3 = 2*17**4 + x*17**3 + 2*17**2 + x*17 + x
n = n1 + n2 + n3
if n%16==0:
print(n//16)
Ответ: 2523140
ЗАДАЧА ДлЯ ТРЕНИРОВКИ 5
Сколько единиц в двоичной записи числа, являющимся результатом следующего выражения?
299 - 218 + 297 - 29 + 1
299 - 218 + 297 - 29 + 1
n = 2**99 - 2**18 + 2**97 - 2**9 + 1
k = 0
while n>0:
if n%2==1:
k = k+1
n = n//2
print(k)
Ответ: 89
k = 0
while n>0:
if n%2==1:
k = k+1
n = n//2
print(k)
Ответ: 89
ЗАДАЧА ДлЯ ТРЕНИРОВКИ 6
Значение арифметического выражения
7 ∙ 11110 + 8 ∙ 1188 – x,
где x – целое положительное число, не превышающее 2000, записали в 9-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в 9-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 16 нулей. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
7 ∙ 11110 + 8 ∙ 1188 – x,
где x – целое положительное число, не превышающее 2000, записали в 9-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в 9-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 16 нулей. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
for x in range(1, 2001):
t = 7*11**110 + 8*11**88 - x
k = 0
while t!=0:
if t%9==0:
k = k+1
t = t//9
if k==16:
print(x)
Ответ: 1992
t = 7*11**110 + 8*11**88 - x
k = 0
while t!=0:
if t%9==0:
k = k+1
t = t//9
if k==16:
print(x)
Ответ: 1992
ЗАДАЧА ДлЯ ТРЕНИРОВКИ 7
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 18.
1x2С18 + 2Аx1218
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 18-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 4. Укажите найденное х в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
1x2С18 + 2Аx1218
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 18-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 4. Укажите найденное х в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
for x in range(18):
n1 = 1*18**3 + x*18**2 + 2*18 + 12
n2 = 2*18**4 + 10*18**3 + x*18**2 + 1*18 + 2
n = n1 + n2
if n%4==0:
print(x)
Ответ: 17
n1 = 1*18**3 + x*18**2 + 2*18 + 12
n2 = 2*18**4 + 10*18**3 + x*18**2 + 1*18 + 2
n = n1 + n2
if n%4==0:
print(x)
Ответ: 17
Значение арифметического выражения
3 ∙ 21872020 + 3292021 – 2 ∙ 2432022 + 712023 – 2 ∙ 27 2024 – 6361
записали в системе счисления с основанием 45. Определите количество цифр G в записи этого числа.
99
3 ∙ 21872020 + 3292021 – 2 ∙ 2432022 + 712023 – 2 ∙ 27 2024 – 6361
записали в системе счисления с основанием 45. Определите количество цифр G в записи этого числа.
99
Значение арифметического выражения
3 ∙ 12399 - 12498 + 22497 + 29059 + 7 ∙ 444 + 712023 – 2 ∙ 27 2024 – 6361
записали в системе счисления с основанием 17. Определите в 17-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, равным 6, или с числовым значением, кратным 5.
3 ∙ 12399 - 12498 + 22497 + 29059 + 7 ∙ 444 + 712023 – 2 ∙ 27 2024 – 6361
записали в системе счисления с основанием 17. Определите в 17-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, равным 6, или с числовым значением, кратным 5.
Значение арифметического выражения
3 ∙ 12399 - 12498 + 22497 + 29059 + 7 ∙ 444 + 712023 – 2 ∙ 27 2024 – 6361
записали в системе счисления с основанием 17. Определите в 17-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, равным G, или с числовым значением, кратным 5.
3 ∙ 12399 - 12498 + 22497 + 29059 + 7 ∙ 444 + 712023 – 2 ∙ 27 2024 – 6361
записали в системе счисления с основанием 17. Определите в 17-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, равным G, или с числовым значением, кратным 5.